基本的Client to Serverの場合にはカスタムイベントのRun On Serverを用いて、変数の内容を同期させる必要があります。また使用しているデフォルトクラスによってネットワーク対応度も違い、Pawnクラスはネットワーク同期に対応せず、Characterクラスであればネットワーク同期に標準で対応済みです。
基本的にSpawnを行ったそのサーバーもしくはクライアント自身がアクターの権限を持ちますが、サーバー以外の場合には自動的に同期されず、RPCによる同期が必要です。またPlayerController、もしくはPlayerStateによるオーナーシップがなければRun On Server自体が発動しません。以下はドキュキメントからです。
オーナーシップ
レプリケートしたイベントを含むマルチプレイヤー ゲームを作業時の重要な概念は、指定アクタまたはコンポーネントのオーナーとみなされる 接続はどれかという点です。目的を果たすために、“Run on server” イベントはクライアントが所有するアクタ (またはアクタのコンポーネント) からだけ呼び出せることに留意してください。通常は以下のアクタまたはアクタの 1 つのコンポーネントからのみ “Run on server” イベントを送信できることを意味します。